Александър Сапунджиев е роден в село Бобошево на 13 февруари 1893.

Запознава се с анархистичните идеи през 1911 г., по времето когато още учи в Кюстендил. Завършва Юридическия факултет на Софийския университет, но никога не печели пари като адвокат, смятайки тази професия за несъвместима с анархистичните принципи.

Когато на 1 май 1919 г. анархистите в града организират голям масов митинг, Сапунджиев е един от участниците в него. През юни същата година участва и като делегат в учредителния конгрес на Федерацията на анархо-комунистите в България. Впоследствие винаги участва във всички конгреси и национални конференции.

Александър Сапунджиев е противник на експроприациите и тероризма, въпреки че е близък приятел на Васил Икономов. Той винаги е настоявал за образователна и социална дейност вместо терористични операции. През 1921 г. преподава в училището, но успоредно с това не спира анархистката си дейност. Уволнен е от работа, а учителската практика му е забранена завинаги. Не след дълго участва в издаването на нелегален анархистки вестник, а след това става редактор на „Работническа мисъл“.

Като делегат на 5-ия конгрес на ОФ в Ямбол, в началото на януари 1923 г. изготвя доклад за конгреса и участва в редакцията на решенията му.

Започва да издава месечното теоретично списание „Свободно общество“ и по-късно Сапунджиев става негов редактор. След Деветоюнския преврат списанието „Работническа мисъл“ е закрито, а Сапунджиев е арестуван и интерниран в лагер. В затвора се разболява от туберкулоза и прекарва няколко месеца на лечение в Александровската болница в София, а след това в санаториума в Искреца. През август 1924 г. се завръща в София и отново започва да списва издаването на „Свободно общество“.

Сапунджиев не одобрява атентата срещу цар Борис III през април 1925 г. и няма нищо общо с този терористичен акт, но властите го изпращат за всеки случай в малката му родина с надеждата, че там македонските контрачети ще го ликвидират. Сапунджиев разбира това и тайно емигрира в съседна Югославия. Там работи като портиер на гарата в Голям Бекерек. През 1927 и 1928 г. цялата група анархисти мигранти в Югославия се премества нелегално в Западна Европа и повечето от тях се установяват да живеят във Франция. Сапунджиев е сред тях.

След като е амнистиран през 1930 г., Сапунджиев се завръща в България, където след издаването на брошурата му „Организация на въстаниците“ се отдава на активна дейност за сплотяване на движението. Участва на конгреса в Ловеч през август 1932 г. с доклад на тази тема. Редактор е на актуализирания седмичник „Работническа мисъл“, ръководи издателската дейност на „Свободна мисъл“, превежда брошури. През цялото това време той търси работа. Въпреки че има два завършени факултета зад гърба си, той работи като вол, за да изкарва прехраната си.

За превод на брошура от френски е осъден на три месеца затвор, които прекарва в Централния софийски затвор. Когато животът на Сапунджиев в София става невъзможен, той се мести в село Бяла, Варненско. Отглеждането на грозде и работата в кооперация не прекъсват връзките му с Движението – присъства на всички нелегални пленуми на ФАКБ. През 1942 г. го заточват на каторга в с. Голямо Пещене, където прекарва шест месеца. При новия режим след 9 септември 1944 г. той като много други също е арестуван и изпратен на лагер в Белене, но скоро е освободен оттам. До смъртта си Сапунджиев е верен на идеите на анархистическото движение.

Александър Сапунджиев умира на 6 юли 1975 г.